Jak rozwiązać równanie a*X + X^4 = c z X w potęgach pierwszej i czwartej?
kto rozwiaze mi rownanie
From: kuzyn <kuzyn_at_nospam_kki.net.pl>
Subject: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Thu, 25 Sep 1997 20:51:30 +0200
Jestem w klopocie !!!
proszeo szybkie rozwiazanie
a*X+X^4=c
X w pierwszej i czwartej potedze
a- stala
c-stala
X-niewiadoma
From: Jan Dubiec <SPAMFILTER.alx_at_nospam_rdp.asi.alcatel.es>
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Fri, 26 Sep 1997 09:20:08 GMT
On Thu, 25 Sep 1997 20:51:30 +0200, kuzyn <kuzyn_at_nospam_kki.net.pl> wrote:
Jestem w klopocie !!!
proszeo szybkie rozwiazanie
a*X+X^4=c
X w pierwszej i czwartej potedze
a- stala
c-stala
X-niewiadoma
X^4+aX-c=0
Takie równanie ma cztery pierwiatki w ciele liczb zespolonych;
niektóre z nich mogą mieć część urojoną równą 0, czyli po prostu mogą
być rzeczywiste. Oznaczając jako x1, x2, x3, x4 pierwiastki tego
równamia możemy je zapisać następująco:
(X-x1)(X-x2)(X-x3)(X-x4) = 0
Po pracochłonnym :-) wymnożeniu otrzymujemy coś takiego:
X^4 - (x1+x2+x3+x4)X^3 + [x1x2+x3x4+(x1+x2)(x3+x4)]X^2 - [(x1+x2)x3x4+
+(x3+x4)x1x2]X + x1x2x3x4 = 0 (Nie wiem, czy się nie pomyliłem)
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej
otrzymujemy układ czterech równań z czterema niewiadomymi:
x1+x2+x3+x4 = 0
x1x2+x3x4+(x1+x2)(x3+x4) = 0
(x1+x2)x3x4+(x3+x4)x1x2 = -a
x1x2x3x4 = -c
Z tym powinieneś sobie poradzić, ale łatwo nie będzie. :-) Zobacz co
wypluła Mathematica:
Solve[x^4+a*x-c==0,x]
{{x -> Sqrt[
1/3
-4 2 c
----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------] / 2 \
1/3
3 2
- Sqrt[
1/3
4 2 c
----------------------------------- -
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
----------------------------------- -
1/3
3 2
(2 a) /
Sqrt[
1/3
-4 2 c
----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------]] \
1/3
3 2
/ 2}, {x ->
1/3
-4 2 c
Sqrt[----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------] / 2 \
1/3
3 2
+ Sqrt[
1/3
4 2 c
----------------------------------- -
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
----------------------------------- -
1/3
3 2
(2 a) /
Sqrt[
1/3
-4 2 c
----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------]] \
1/3
3 2
/ 2}, {x ->
1/3
-4 2 c
-Sqrt[----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------] / 2\
1/3
3 2
- Sqrt[
1/3
4 2 c
----------------------------------- -
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
----------------------------------- +
1/3
3 2
(2 a) /
Sqrt[
1/3
-4 2 c
----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------]] \
1/3
3 2
/ 2}, {x ->
1/3
-4 2 c
-Sqrt[----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------] / 2\
1/3
3 2
+ Sqrt[
1/3
4 2 c
----------------------------------- -
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
----------------------------------- +
1/3
3 2
(2 a) /
Sqrt[
1/3
-4 2 c
----------------------------------- +
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
2 4 3 1/3
(27 a + Sqrt[729 a + 6912 c ])
-----------------------------------]] \
1/3
3 2
/ 2}}
Hi,hi. Żeby się w tym połapać trzeba to sobie wydrukować na papierze.
Pozdrowienia,
/J.D.
PS. Pewnie jest jakiś prostszy sposób; ja to pisałem na podstawie
resztek tego co pamiętam ze szkoły.
PPS. Wydruk z Mathematiki jest "as is", tzn. nie chciało mi się go
formatować.
__ _ __ __
/ / __ _ ___ (_) _ / _ / / Jan Dubiec
__ / / / __ `/ / __ / / / _ \ / /_ / / Alcatel Polska S.A.
/ _ / / _ / (__ ) / / / _/ ,< _ CAE Tools Department
\ ___ \__,_/ ____ _ \ __//_|_| (_) mailto:alx_at_nospam_rdp.asi.alcatel.es
From: Andrzej Abraszewski <abra_at_nospam_kki.net.pl>
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Fri, 26 Sep 1997 22:37:52 +0200
Jan Dubiec wrote:
Zobacz co wypluła Mathematica:
<ciach>
PS. Pewnie jest jakiś prostszy sposób; ja to pisałem na podstawie
resztek tego co pamiętam ze szkoły.
No pewnie. Patrz moj poprzedni posting.
I wychodzi na to ze trzeba by wyrzucic komputery.;>
Ciekawe czemu Mathematica tak glupio to policzyla ?.
Do czwartego rzedu sa gotowe rozwiazania.
Pozdrawiam
A.A.
From: lis_at_nospam_papuga.ict.pwr.wroc.pl (Jaroslaw Lis)
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: 27 Sep 1997 13:21:33 GMT
Andrzej Abraszewski <abra_at_nospam_kki.net.pl> wrote:
Jan Dubiec wrote:
No pewnie. Patrz moj poprzedni posting.
I wychodzi na to ze trzeba by wyrzucic komputery.;>
Ciekawe czemu Mathematica tak glupio to policzyla ?.
Do czwartego rzedu sa gotowe rozwiazania.
Tyle ze te gotowe rozwiazania wcale nie sa takie proste, wiec niewyukluczone
ze mathematica wcale tak glupio nie policzyla.
J.
From: Andrzej Abraszewski <abra_at_nospam_kki.net.pl>
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Sun, 28 Sep 1997 20:16:22 +0200
Andrzej Abraszewski <abra_at_nospam_kki.net.pl> wrote:
Ciekawe czemu Mathematica tak glupio to policzyla ?.
Do czwartego rzedu sa gotowe rozwiazania.
Jaroslaw Lis wrote:
Tyle ze te gotowe rozwiazania wcale nie sa takie proste, wiec niewyukluczone
ze mathematica wcale tak glupio nie policzyla.
No tak ale podobnie jak DEEP BLUE posiadal w pamieci wszystkie rozegrane
dotychas partie szachowe tak i Mathematica powinna posiadac wszystkie
mozliwe gotowce. Przy obecnej mocy komputerow to betka.
Pozdrawiam
A.A.
From: Jan Dubiec <SPAMFILTER.alx_at_nospam_rdp.asi.alcatel.es>
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Mon, 29 Sep 1997 08:50:17 GMT
On Fri, 26 Sep 1997 22:37:52 +0200, Andrzej Abraszewski
<abra_at_nospam_kki.net.pl> wrote:
[.....]
Ciekawe czemu Mathematica tak glupio to policzyla ?.
Podała wynik dokładny. Gdyby zamiast a oraz c wstawić konkretne liczby
i użyć funkcji NSolve() otrzymalibyśmy rozwiązanie mieszczące się w
jednej linijce. :-) Z tym że niedokładne.
A tak w ogóle to polecam Mathematikę. Świetny program. A, jest jeszcze
dosowy Derive. Stary, ale jary.
Pozdrowienia,
/J.D.
__ _ __ __
/ / __ _ ___ (_) _ / _ / / Jan Dubiec
__ / / / __ `/ / __ / / / _ \ / /_ / / Alcatel Polska S.A.
/ _ / / _ / (__ ) / / / _/ ,< _ CAE Tools Department
\ ___ \__,_/ ____ _ \ __//_|_| (_) mailto:alx_at_nospam_rdp.asi.alcatel.es
From: Andrzej Abraszewski <abra_at_nospam_kki.net.pl>
Subject: Re: kto rozwiaze mi rownanie
Date: Fri, 26 Sep 1997 22:37:33 +0200
kuzyn wrote:
Jestem w klopocie !!!
proszeo szybkie rozwiazanie
a*X+X^4=c
X w pierwszej i czwartej potedze
a- stala
c-stala
X-niewiadoma
Co to za jaja ?. Algebra ?
A juz niech strace. ;)
Pierwiastki tego rownania pokrywaja sie z pierwiastkami
dwoch rownan kwadratowych :
x^2+A*x/2+(y+(y-a)/A)=0
gdzie
A+= sqrt(8*y) i A-=-sqrt(8*y)
a y jest dowolnym pierwiastkiem rzeczywistym rownania szesciennego
8*y^3+8*c*y-a^2=0
No a rownanie trzeciego stopnia to juz (chyba) potrafisz rozwiazac ? :))
Powodzenia.
Pozdrawiam
A.A.